Problemas da Vida Real envolvendo a Função Quadrática

PROBLEMAS DA VIDA REAL ENVOLVENDO A FUNÇÃO QUADRÁTICA

1 – A altura da plataforma

Um míssil é lançado verticalmente para o ar. A altura , em metros, do míssil acima do solo, segundos após o lançamento é dado por:

h(t) = -4,9t2+200t+50

Qual a altura da plataforma onde estava instalado o míssil antes de ser lançado?

2 – Crescimento da população

Um estudo conduzido pelo departamento estatístico de uma câmara concluiu que a população da sua cidade nos próximos dois anos cresceria de acordo com a fórmula:

P(x) = 30 000+20x2+20x

onde representa a população, meses a partir da data em que foi feito o estudo. Quantas pessoas habitavam a cidade na época em que foi feito o estudo?

3 – A trajectória da bala

Uma bala está colocada 1,5m acima do solo e é lançada segundo um ângulo de 45º com o nível do solo. A trajectória da bala é dada pela função definida por:

f(x) = -0,0025x2+x+1,5

onde é a altura da bala (em metros) e é a distância horizontal da bala ao ponto de lançamento.
Determine a distância, na horizontal, entre o ponto de lançamento e o ponto onde caiu a bala.

4 – Lançamento de um balão

Às nove da manhã, um balão foi lançado do cimo de um prédio. Admite que a altura , em metros, evolui com o tempo (em horas), desde o instante em que é lançado, de acordo com a função:

A(t) = -7,5t2+30t+90

a) Que altura tem o prédio?
b) Qual foi a altitude máxima atingida pelo balão e a que horas tal facto aconteceu?
c) Quanto tempo demorou o balão a atingir o solo?

Problemas da Vida Real (com soluções)

PROBLEMAS DA VIDA REAL (COM SOLUÇÕES)

1 – Uma bola que se encontra a 0,5 metros do solo é lançada verticalmente para cima, com uma velocidade inicial de 16m/s.
A função definida por:

h(t) = -4,9t2+16t+0,5

permite calcular a altura , em metros, da bola, ao fim de segundos de movimento.

a) Obtenha com a calculadora gráfica o gráfico da função h.
b) Calcule e interprete o resultado obtido.
c) Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a altura máxima atingida pela bola e o instante em que tal aconteceu.
d) Determine, em segundos, quanto tempo a bola se manteve no ar.

2 - Uma bola é lançada na vertical de baixo para cima. A altura h, em metros, a que se encontra do solo t segundos após o lançamento é dada por

h(t) = -5t2+30t+1

a) Determina a altura a que a bola se encontrava no instante inicial.
b) Calcula h (2) e interpreta o resultado no contexto do problema.
c) Determina a altura máxima atingida pela bola e o instante em que ocorreu.
Em que instante a bola atingiu o solo?

3 - A Rita está a faltar às aulas. Acordou às 5 horas e suspeitou que estava com febre, o que foi confirmado pela temperatura registada no termómetro.A temperatura evoluiu nas 4 horas seguintes de acordo com o modelo matemático

T(h) = -0,5(h2-4h)+38

e só começou a baixar 20 minutos após a administração de um medicamento.
T representa a temperatura observada durante h horas:

a) Qual a temperatura observada às 5 horas?
b) Qual a temperatura máxima atingida, no período de observação?
c) A que horas foi administrado o medicamento?

SOLUÇÕES

1 -
a)

b) h(2) = 12,9; Significa que 2 segundos após o lançamento a bola encontra-se a 12,9 m de altura.

c) A bola atingiu a altura máxima de 13,56 m, 1,36 s após o lançamento.

d) A bola manteve-se no ar 3,3 segundos.

2 -

a) h(0) = 1; No instante inicial a bola encontra-se a 1m de altura.

b) h(2) = 41; Ao fim de 2 segundos a bola encontra-se a 41 metros de altura.

c) Coordenadas no vértice: (3,46). Passados 3 segundos a bola atinge a altura máxima de 46 metros.

d) Aproximadamente 6 segundos.

3-

a) T(0) = 38º; Às cinco horas, a temperatura era de 38º.

b) Coordenadas no vértice: (2,40). No contexto do problema significa que, passadas 2 horas, ou seja às 7 horas, a temperatura era de 40ºC – temperatura máxima observada.

c) A temperatura atingiu o máximo duas horas após o início da observação. Portanto, começou a diminuir às 7 horas, o que permite concluir que o medicamento tenha sido administrado às 6 horas e 40 minutos (20 minutos antes).

Resumo Teórico da Função Quadrática

O ESSENCIAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

1 – Uma função quadrática é uma função f definida por f(x) = ax2+bx+c , a diferente de 0

a, b e c são números reais.
O domínio de uma função quadrática é o conjunto dos números reais.
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.


2 – Concavidade de uma função quadrática

• Se a > 0, a concavidade do gráfico é voltada para cima.

• Se a < 0, a concavidade do gráfico é voltada para baixo.
  

3 – O gráfico de uma função quadrática intersecta sempre o eixo OY

O gráfico de uma função quadrática pode ou não intersectar o eixo OX, ou seja, uma função quadrática pode ter ou não zeros.
Sendo o binómio discriminante b2-4ac

4 – Para determinar o contradomínio de uma função quadrática determinam-se as coordenadas do vértice da parábola que representa graficamente a função.

O eixo de simetria da parábola é a recta de equação x = h.

5 – Na resolução de inequações do 2º grau é útil ter em atenção o seguinte quadro: