segunda-feira, 25 de Fevereiro de 2008

Início do novo módulo - TRIGONOMETRIA

NOVO MÓDULO - TRIGONOMETRIA
Esta semana vamos começar a mergulhar no mundo da Trigonometria.
O estudo das razões trigonométricas de ângulos agudos feito a partir de triângulos rectângulos semelhantes, proporcionará aos alunos ocasião para realizar trabalhos fora da sala de aula, relacionando ângulos com distâncias.

domingo, 17 de Fevereiro de 2008

Teste Final de Módulo

Espero sinceramente que estejam preparados para o teste final deste módulo de Funções.
Boa Sorte!

sábado, 16 de Fevereiro de 2008

Observa que encontras ...

A função quadrática encontra-se presente no teu dia-a-dia, muitas vezes nem nos apercebemos.
Desafio-te que consigas arranjar exemplos práticos onde é visível esta aplicação matemática.
SÊ ORIGINAL !

quinta-feira, 7 de Fevereiro de 2008

Questões de Escolha Múltipla

QUESTÕES DE ESCOLHA MÚLTIPLA
(COM SOLUÇÕES)
1 – Considere as afirmações:

I- O gráfico de uma função quadrática pode não intersectar o eixo dos yy.
II – O gráfico de qualquer função quadrática intersecta o eixo dos xx em dois pontos.

Então:

(A) I e II são verdadeiras
(B) I é verdadeira e II é falsa
(C) I é falsa e II é verdadeira
(D)I e II são falsas


2 – Uma função quadrática com máximo em x = 2 tem 5 como zero. O outro zero desta função é:

(A) 3
(B) -1
(C) -2
(D) 0


3 – De uma função quadrática g, sabemos que o coeficiente do termo de grau 2 é positivo e o binómio discriminante é menor que zero. Então:

(A) g tem dois zeros e é sempre positiva.
(B) g tem apenas um zero e é sempre positiva.
(C) g não tem zeros é sempre positiva.
(D) g não tem zeros e é sempre negativa.


4 – O gráfico da função definida em IR por f (x) = -2 (x-5)2+3 tem como eixo de simetria:

(A) x = 3
(B) x = 5
(C) y = 3
(D) x = -2


5 – Relativamente às afirmações seguintes:

I- Se uma função é crescente nos intervalos A e B, então é crescente em A U B;
II – O maior dos máximos relativos é sempre o máximo absoluto da função;
III – Se uma função tem 2 zeros, então é não injectiva;
Podemos afirmar:

(A) Somente I é verdadeira
(B) Somente III é verdadeira
(C) São todas falsas
(D) II e III são verdadeiras
SOLUÇÕES
1 – D
2 – B
3 – C
4 – B
5 – B

quarta-feira, 6 de Fevereiro de 2008

A Calculadora Gráfica

A CALCULADORA GRÁFICA (CASIO) NAS FUNÇÕES








Inequações do 2º Grau (com soluções)

INEQUAÇÕES DO 2º GRAU (COM SOLUÇÕES)

1 - Resolve cada uma das inequações:



SOLUÇÕES

1
a)


b)


c)


d)

Inequações do 2º Grau

INEQUAÇÕES DO 2º GRAU
1 - Resolve as seguintes inequações:





Problemas da Vida Real envolvendo a Função Quadrática

PROBLEMAS DA VIDA REAL ENVOLVENDO A FUNÇÃO QUADRÁTICA

1 – A altura da plataforma

Um míssil é lançado verticalmente para o ar. A altura , em metros, do míssil acima do solo, segundos após o lançamento é dado por:

h(t) = -4,9t2+200t+50



Qual a altura da plataforma onde estava instalado o míssil antes de ser lançado?





2 – Crescimento da população

Um estudo conduzido pelo departamento estatístico de uma câmara concluiu que a população da sua cidade nos próximos dois anos cresceria de acordo com a fórmula:

P(x) = 30 000+20x2+20x

onde representa a população, meses a partir da data em que foi feito o estudo. Quantas pessoas habitavam a cidade na época em que foi feito o estudo?



3 – A trajectória da bala


Uma bala está colocada 1,5m acima do solo e é lançada segundo um ângulo de 45º com o nível do solo. A trajectória da bala é dada pela função definida por:


f(x) = -0,0025x2+x+1,5

onde é a altura da bala (em metros) e é a distância horizontal da bala ao ponto de lançamento.
Determine a distância, na horizontal, entre o ponto de lançamento e o ponto onde caiu a bala.

4 – Lançamento de um balão

Às nove da manhã, um balão foi lançado do cimo de um prédio. Admite que a altura , em metros, evolui com o tempo (em horas), desde o instante em que é lançado, de acordo com a função:

A(t) = -7,5t2+30t+90

a) Que altura tem o prédio?
b) Qual foi a altitude máxima atingida pelo balão e a que horas tal facto aconteceu?
c) Quanto tempo demorou o balão a atingir o solo?

Problemas da Vida Real (com soluções)

PROBLEMAS DA VIDA REAL (COM SOLUÇÕES)

1 – Uma bola que se encontra a 0,5 metros do solo é lançada verticalmente para cima, com uma velocidade inicial de 16m/s.
A função definida por:

h(t) = -4,9t2+16t+0,5

permite calcular a altura , em metros, da bola, ao fim de segundos de movimento.

a) Obtenha com a calculadora gráfica o gráfico da função h.
b) Calcule e interprete o resultado obtido.
c) Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a altura máxima atingida pela bola e o instante em que tal aconteceu.
d) Determine, em segundos, quanto tempo a bola se manteve no ar.


2 - Uma bola é lançada na vertical de baixo para cima. A altura h, em metros, a que se encontra do solo t segundos após o lançamento é dada por

h(t) = -5t2+30t+1


a) Determina a altura a que a bola se encontrava no instante inicial.
b) Calcula h (2) e interpreta o resultado no contexto do problema.
c) Determina a altura máxima atingida pela bola e o instante em que ocorreu.
Em que instante a bola atingiu o solo?


3 - A Rita está a faltar às aulas. Acordou às 5 horas e suspeitou que estava com febre, o que foi confirmado pela temperatura registada no termómetro.A temperatura evoluiu nas 4 horas seguintes de acordo com o modelo matemático

T(h) = -0,5(h2-4h)+38

e só começou a baixar 20 minutos após a administração de um medicamento.
T representa a temperatura observada durante h horas:

a) Qual a temperatura observada às 5 horas?
b) Qual a temperatura máxima atingida, no período de observação?
c) A que horas foi administrado o medicamento?



SOLUÇÕES

1 -
a)

b) h(2) = 12,9; Significa que 2 segundos após o lançamento a bola encontra-se a 12,9 m de altura.

c) A bola atingiu a altura máxima de 13,56 m, 1,36 s após o lançamento.

d) A bola manteve-se no ar 3,3 segundos.

2 -

a) h(0) = 1; No instante inicial a bola encontra-se a 1m de altura.

b) h(2) = 41; Ao fim de 2 segundos a bola encontra-se a 41 metros de altura.

c) Coordenadas no vértice: (3,46). Passados 3 segundos a bola atinge a altura máxima de 46 metros.

d) Aproximadamente 6 segundos.

3-

a) T(0) = 38º; Às cinco horas, a temperatura era de 38º.

b) Coordenadas no vértice: (2,40). No contexto do problema significa que, passadas 2 horas, ou seja às 7 horas, a temperatura era de 40ºC – temperatura máxima observada.

c) A temperatura atingiu o máximo duas horas após o início da observação. Portanto, começou a diminuir às 7 horas, o que permite concluir que o medicamento tenha sido administrado às 6 horas e 40 minutos (20 minutos antes).



Resumo Teórico da Função Quadrática

O ESSENCIAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

1 – Uma função quadrática é uma função f definida por f(x) = ax2+bx+c , a diferente de 0

a, b e c são números reais.
O domínio de uma função quadrática é o conjunto dos números reais.
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.



2 – Concavidade de uma função quadrática
  • Se a > 0, a concavidade do gráfico é voltada para cima.


  • Se a < 0, a concavidade do gráfico é voltada para baixo.

3 – O gráfico de uma função quadrática intersecta sempre o eixo OY

O gráfico de uma função quadrática pode ou não intersectar o eixo OX, ou seja, uma função quadrática pode ter ou não zeros.
Sendo o binómio discriminante b2-4ac


4 – Para determinar o contradomínio de uma função quadrática determinam-se as coordenadas do vértice da parábola que representa graficamente a função.


O eixo de simetria da parábola é a recta de equação x = h.

5 – Na resolução de inequações do 2º grau é útil ter em atenção o seguinte quadro: